Question

6．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD=2$\sqrt{3}$，AD=3，⊙C与AD相切于点D，P是线段AB上一动点，以点P为圆心，PB长为半径作⊙P．
（1）当⊙P经过点D时，求AP的长；
（2）如图2，设BC与⊙C交于点Q，将⊙C沿某直线l折叠，使点D恰好落在点Q，当⊙P与直线l相切时，求⊙P的半径；
（3）在（2）的条件下，在直线AB上的其它位置是否还存在相应的点P，使得⊙P与直线l相切？若存在，直接写出此时⊙P的半径；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：连接DP，然后在△APD中，依据勾股定理可求得PD的长，从而求得⊙P的半径；
（2）连接AC，过点P作PH⊥AC，AC与圆P的切点为H，连接HP，由∠DCA=∠ACB=60°可得到直线l与直线AC重合，设PB=a，然后在△AHP中，依据特殊锐角三角形函数值列出关于a的方程，从而可求得⊙P的半径；
（3）存在．当P在AB的延长线上时，设⊙P与AC相切于点H，设PB=PH=b．在Rt△APH中，根据cosP=$\frac{PH}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{b}{2\sqrt{3}+b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，推出b=12+6$\sqrt{3}$；

解答 解：（1）设AP=x，
当⊙P经过点D时，（如图1所示），则PB=PD=2 $\sqrt{3}$-x，
∵∠DOP=90°，
∴AD²+AP²=PD²，
即3²+x²=（2 $\sqrt{3}$-x）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴PA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）连接AC，（如图2所示），
∵AB=2CD=2$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，∵AD=3，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2 $\sqrt{3}$，tan∠DAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DAC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠ACB=∠ACD=60°，
∴直线l经过点O，
过PH⊥AC于H，则∠APH=30°，设BP=PH=a，则AP=2 $\sqrt{3}$-a，
∴$\frac{PH}{PA}$=cos30°，
即 $\frac{a}{2\sqrt{3}-a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：a=12-6 $\sqrt{3}$，
当⊙P与直线l相切时，求⊙P的半径为12-6 $\sqrt{3}$．

（3）存在．当P在AB的延长线上时，设⊙P与AC相切于点H，设PB=PH=b．

在Rt△APH中，cosP=$\frac{PH}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{b}{2\sqrt{3}+b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=12+6$\sqrt{3}$，
∴⊙P的半径为12+6$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆的性质、切线的性质、等边三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值等知识，解题的关键是依据勾股定理和特殊锐角三角函数值，列出关于a、b的方程．