Question

20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5．
（1）以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC的位置关系是相离；
（2）以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，则⊙B的直径r的取值范围是r＞12；
（3）以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切，则R=$\frac{60}{13}$．

Answer 1

分析 （1）根据圆心到直线的距离大于圆的半径时直线与圆相离进行判断；
（2）先利用勾股定理计算出BC=12，再根据直线与圆相交的判定方法即可得到r＞12；
（3）先利用面积法计算出CD，然后根据直线与圆相切的条件即可得到R的值．

解答 解：（1）∵AC⊥BC，
而AC＞4，
∴以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC相离；
（2）BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵BC⊥AC，
∴⊙B的半径大于BC时，以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，
即r＞12；
（3）作CD⊥AB于D，如图，
∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{5×12}{13}$=$\frac{60}{13}$，
当R=$\frac{60}{13}$时，以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切．
故答案为相离，r＞12，$\frac{60}{13}$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了勾股定理．