题目内容
8．
如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后解答相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
（1）求证：△C′D′E′是等边三角形；
（2）求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DE：EF=1：2．
分析 （1）根据作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可证得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根据相似可证得对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△CDE∽△C′D′E′，即可得结果；
（2）类似（1）的作法．
解答 
（1）证明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，
∴CE：C′E′=OE：OE′，DE：D′E′=OE：OE′，∠CEO=∠C′E′O，∠DEO=∠D′E′O，
∴CE：C′E′=DE：D′E′，∠CED=∠C′E′D′，
∴△CDE∽△C′D′E′，
∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形；
（2）解：画法：①在△ABC内画矩形D′E′F′G′，使点D′在AB上，点G′在AC上，且D′E′：D′G′=1：2；
②连接A E′并延长，交BC于点E，连接A F′并延长交BC于点F，过点E作ED∥E′D′交AB于点D，过点F作FG∥F′G′，交AC于点G；
③连接DG，则矩形DEFG是△ABC的内接四边形．
点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及位似图形的性质，利用相似图形的性质得出是解题关键．
练习册系列答案
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