题目内容
18．
如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，现有一块足够大的直角三角板的直角顶点与点O重合，当直角三角板绕着点O旋转时，两条直角边OP、OQ分别保持与边AB、边BC相交于点E、F，连结EF，下列结论：①EF=OB，②EF=$\sqrt{2}$OF；③当EF∥AC时，△BEF的周长最小；④当BE变化时，四边形OEBF的面积也随之变化．其中结论正确的个数为（ ）| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
分析 根据旋转的性质以及正方形的性质，可得△BOE≌△COF，进而可得△EOF是等腰直角三角形，S△BOE=S△COF，进而得出四边形OEBF的面积=S△BOE+S△BOF=S△COF+S△BOF=S△BOC（是定值），据此可得正确的结论．
解答 
解：①EF=OB不一定成立，
当OE⊥AB，OF⊥BC时，四边形OEBF是正方形，
此时EF=OB，
而OE⊥AB，OF⊥BC不一定成立，
故①错误；
②根据正方形ABCD，可得∠BOC=∠EOF=90°，OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
∴∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$OF，
故②正确；
③由②可得，△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BE=BC（定值），
∴当EF最短时，△BEF的周长最小，
此时OE、OF最短，即OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∴EF∥AC，
故③正确；
④当BE变化时，四边形OEBF的面积不变，
由②可得，△BOE≌△COF，
∴S△BOE=S△COF，
∴四边形OEBF的面积=S△BOE+S△BOF=S△COF+S△BOF=S△BOC（定值），
故④错误．
故选：B．
点评 本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，解题时注意：全等三角形的面积相等．
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