Question

6．如图，甲、乙两人分别从A（1，$\sqrt{3}$），B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN²，直接写出s与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）判断出甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，即可推得MN与AB不可能平行．
（2）根据题意，分三种情况：①t＜$\frac{1}{2}$时；②当$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{3}{2}$时；③当t＞$\frac{3}{2}$时；求出当t为何值时，△OMN∽△OBA．
（3）根据题意，分三种情况：①t≤$\frac{1}{2}$时；②当$\frac{1}{2}$＜t≤$\frac{3}{2}$时；③当t＞$\frac{3}{2}$时；写出s与t之间的函数关系式即可．

解答 解：（1）∵A点的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2；
∵OM=2-4t，ON=6-4t，
∴当$\frac{2-4t}{2}$=$\frac{6-4t}{6}$时，解得t=0，
∴甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，
∴MN与AB不可能平行．

（2）∵甲到达O点的时间为t=$\frac{1}{2}$，乙到达O点的时间为t=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴甲先到达O点，
∴t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$时，O、M、N三点不能连接成三角形．
①t＜$\frac{1}{2}$时，
如果△OMN∽△OBA，则有$\frac{2-4t}{6}$=$\frac{6-4t}{2}$，
解得t=2＞$\frac{1}{2}$，
∴△OMN不可能和△OBA相似．
②当$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{3}{2}$时，
∠MON＞∠AOB，
显然△OMN不可能和△OBA相似．
③当t＞$\frac{3}{2}$时，
$\frac{4t-2}{6}$=$\frac{4t-6}{2}$，
解得t=2＞$\frac{3}{2}$，
∴当t=2时，△OMN∽△OBA．

（3）①当t≤$\frac{1}{2}$时，如图1，过点M作MH⊥x轴于点H，
，
在Rt△MOH中，
∵∠AOB=60°，
∴MH=OMsin60°=（2-4t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$（1-2t），
∴OH=OMcos60°=（2-4t）×$\frac{1}{2}$=1-2t，
∴NH=（6-4t）-（1-2t）=5-2t，
∴s=[$\sqrt{3}$（1-2t）]²+（5-2t）²
=3（4t²-4t+1）+（4t²-20t+25）
=16t²-32t+28．
②当$\frac{1}{2}$＜t≤$\frac{3}{2}$时，如图2，作MH⊥x轴于点H，
，
在Rt△MOH中，
MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4t-2）=$\sqrt{3}$（2t-1），
NH=$\frac{1}{2}$（4t-2）+（6-4t）=5-2t，
∴s=[$\sqrt{3}$（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．
③当t＞$\frac{3}{2}$时，同理可得s=[$\sqrt{3}$（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．
综上，可得s=[$\sqrt{3}$（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．

点评 此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．