Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为AC的中点，⊙C的半径为1，过点O作⊙C的切线，E为切点，作OF⊥OE，交CD于点F，求tan∠OFC的值．

Answer 1

分析 作OH⊥CD于H，OF交CD于G，连接CE，如图，利用点O为矩形ABCD的对角线AC的中点得到OH=$\frac{1}{2}$BC=1，CH=2，利用等角的余角相等得到∠1=∠2，再利用切线的性质得CE⊥OE，所以OF∥CE，则∠1=∠3=∠2，接着证明△CEG≌△OHG得到EG=HG，设EG=x，则HG=x，CG=2-x，利用勾股定理得到1²+x²=（2-x）²，解得x=$\frac{3}{4}$，然后在Rt△CEG中利用正切定义得到tan∠3=$\frac{3}{4}$，从而得到tan∠OFC的值．

解答 解：作OH⊥CD于H，OF交CD于G，连接CE，如图，
∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC=1，CH=$\frac{1}{2}$CD=2，
∵OF⊥OE，
∴∠FOG=90°，即∠FOH+∠2=90°，
而∠FOH+∠1=90°，
∴∠1=∠2，
∵OE为切线，
∴CE⊥OE，
∴OF∥CE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
在△CEG和△OHG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGE=∠OGH}\\{∠3=∠2}\\{CE=OH}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△OHG，
∴EG=HG，
设EG=x，则HG=x，CG=2-x，
在Rt△CEG中，1²+x²=（2-x）²，解得x=$\frac{3}{4}$，
在Rt△CEG中，tan∠3=$\frac{EG}{CE}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠OFC的值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质．