题目内容
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx（a≠0）与直线y=x交于M（3，m），且抛物线的对称轴是直线y=2，点P是x轴上方抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，原点O关于直线PQ的对称点是点A，过点A作垂直于x轴的直线交直线y=x于点B．（1）期抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为n，△PAB的面积是S，请写出S与n之间的函数关系式；
（3）是否存在点P的位置，使△PAB是等腰三角形？如果存在，请求出所有n的值，如果不存在，请说明理由．
分析 （1）把M（3，m）代入y=x中求出m得到M（3，3），再把M点坐标代入y=ax2+bx得9a+3b=3，则b=1-3a，然后利用对称轴方程得到b=-4a，则1-3a=-4a，于是求出a和b，从而得到抛物线解析式；
（2）P（n，-n2+4n），则Q（n，0），利用对称性得到A（2n，0），则B（2n，2n），然后利用三角形面积公式求解；
（3）利用两点间的距离公式得到PB2=n2+（n2-2n）2，PA2=n2+（n2-4n）2，AB2=4n2，然后讨论：当PB=AB时，n2+（n2-2n）2=4n2，当PA=AB时，n2+（n2-4n）2=4n2，当PA=PB时，n2+（n2-2n）2=n2+（n2-4n）2，再分别解关于n的方程即可得到满足条件的n的值．
解答 解：（1）把M（3，m）代入y=x得m=3，则M（3，3），
把M（3，3）代入y=ax2+bx得9a+3b=3，则b=1-3a，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=2，
∴b=-4a，
∴1-3a=-4a，解得a=-1，
∴b=4，
∴抛物线解析式为y=-x2+4x；
（2）P（n，-n2+4n），则Q（n，0），
∵原点O关于直线PQ的对称点是点A，
∴A（2n，0），
而AB⊥x轴，
∴B（2n，2n），
∴S=$\frac{1}{2}$•n•2n=n2（0＜n＜4）；
（3）∵P（n，-n2+4n），A（2n，0），B（2n，2n）（0＜n＜4）；
∴PB2=（n-2n）2+（-n2+4n-2n）2=n2+（n2-2n）2，PA2=（n-2n）2+（-n2+4n）2=n2+（n2-4n）2，AB2=4n2，
当PB=AB时，n2+（n2-2n）2=4n2，解得n=0（舍去）或n=2+$\sqrt{3}$或n=2-$\sqrt{3}$；
当PA=AB时，n2+（n2-4n）2=4n2，解得n=4+$\sqrt{3}$（舍去）或n=4-$\sqrt{3}$；
当PA=PB时，n2+（n2-2n）2=n2+（n2-4n）2，解得n=0（舍去）或n=3
综上所述，n的值为2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$或4-$\sqrt{3}$或3．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和等腰三角形的判定与性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的数学解决数学问题．
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激活思维智能训练课时导学练系列答案
某校七年级有400名学生，在一次生物测验后，为了解本次测验的成绩情况，从中随机取了部分学生的成绩进行统计，并绘制了如下图表：| 等级 | 分数 | 频数 | 频率 |
| A | 90≤x≤100 | 6 | 0.15 |
| B | 80≤x＜90 | 20 | a |
| C | 70≤x＜80 | b | 0.2 |
| D | 60≤x＜70 | c | 0.15 |
| 合计 | 1 |
（1）a=0.5，b=8，c=6，并补全条形统计图；
（2）请你估计该校七年级共有多少名学生本次成绩不低于80分；
（3）现从样本中的A等和D等学生中各随机选取一名同学组成互助学习小组，则直接写出两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．