Question

3．如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，D为斜边BC的中点E，F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=8，CF=6．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）求△DEF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD，首先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，AD=CD=BD，从而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得DCF≌△ADE后即可证得DF=DE，最后得出△DEF的形状为等腰直角三角形；
（2）由（1）知AE=CF，AF=BC，DE=DF，在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF²的值求出，进而可求出DE²的值，代入S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE²进行计算即可．

解答 解：（1）连接AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD，∠DAE=45°=∠C，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DAE}\\{CD=AD}\\{∠CDF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△ADE（ASA），
∴DF=DE，
又∵DE⊥DF，
∴△DEF为等腰直角三角形；

（2）由△DCF≌△ADE可得：AE=CF=6，
∴AF=BE=8．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=6²+8²=100，
又∵△DEF为等腰直角三角形，
∴DE²+DF²=EF²=100，即2DE²=100，
∴DE²=50，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×DE×DF=$\frac{1}{2}$×DE²=25．

点评 本题重点考查了等腰直角三角形想的性质、三角形全等的判定以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是连接AD，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行求解．