Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+；（-2，2）；（1，0）；（2）N点坐标为（0，2-3）或（，）

【解析】

（1）由“梦想直线”的定义可求得其解析式，联立直线与抛物线的解析式可求得A,B的坐标；

（2）根据“梦想三角形”的定义，分当点N在y轴上时和当M点在y轴上时两种情况讨论即可.

解（1）由“梦想直线”的定义得，抛物线的“梦想直线”的解析式为y=-x+，

联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，

∴A（-2，2），B（1，0），

故答案为：y=-x+；（-2，2）；（1，0）；

（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，

如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，

在y=-x2-x+2中，令y=0可求得x=-3或x=1，

∴C（-3，0），且A（-2，2），

∴AC==，

由翻折的性质可知AN=AC=，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN==3，

∵OD=2，

∴ON=2-3或ON=2+3，

当ON=2+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，

∴N点坐标为（0，2-3）；

当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，

在Rt△AMD中，AD=2，OD=2，

∴tan∠DAM==，

∴∠DAM=60°，

∵AD∥x轴，

∴∠AMC=∠DAO=60°，

又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，

∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，

∴MP=MN=，NP=MN=，

∴此时N点坐标为（，）；

综上可知N点坐标为（0，2-3）或（，）；