Question

13．如图所示，已知直线PA交☉O于A、B两点，AE是☉O的直径，C为☉O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂直为D．
（1）求证：CD为☉O切线；
（2）若DC+DA=6，☉O的直径为10，求AB的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM=5-DA，利用勾股定理求出AD的长，即可求出AM的长，从而求出AB的长．

解答 （1）证明：连接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即 CD⊥OC，点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．   
              
（2）解：过O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，AM=BM，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四边形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD．
∵AE=10，
∴AO=5，
∴OC=AO=5，
∴DM=5，
∴AM=5-DA，
∵DC+DA=6，
∴OM=CD=6-DA，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO²=AM²+OM²．
∴5²=（6-DA）²+（5-DA）²，
∴DA=2或DA=9（舍去），
∴AM=5-2=3，
∴AB=2AM=6．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理、垂径定理、切线的判定、平行线的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，用了方程思想．