Question

3．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=DB+CE；③AD+DE+AE=AB+AC；④BF=CF．正确的有①②③．

Answer 1

分析 根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；进而利用等腰三角形的性质解答即可．

解答 解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DB=DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF=∠EFC，
∴EF=EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；
∵∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴∠DBF=∠CBF（设为α），∠ECF=∠BCF（设为β）；
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF=α，∠EFC=∠BCF=β；
∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴DB=DF，EF=EC；
∴DE=DB+CE，AD+DE+AE=AB+AC，②③正确；
AB和AC不一定相等，∴BF和CF不一定相等．故④错误
故答案为：①②③

点评 该题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用等腰三角形的判定、平行线的性质是解题的关键．