Question

11．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：BD=DE+CE．
（2）若直线AE旋转到图②与图③位置时，判断BD与DE，CE的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，则有一个角及斜边相等，则可判定Rt△BAD≌Rt△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；
（2）由题中条件同样可得出Rt△BAD≌Rt△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90，
∴∠ABD=∠EAC．
在Rt△BDA和Rt△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EAC}\\{∠ADB=∠AEC=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAD≌Rt△AEC（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE；

（2）解：BD=DE-CE．
理由：∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在Rt△BDA和Rt△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EAC}\\{∠ADB=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAD≌Rt△AEC（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=DE-AD=DE-CE．

点评 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．