Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC、CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），再把点代入即可得出解析式；
（2）分两种情况：①当点E在直线CD的抛物线上方；②当点E在直线CD的抛物线下方；连接CE，过点E作EF⊥CD，再由三角函数得出点E的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B（4，0），点D（2，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），
∴y=a（x+2）（x-4），
∴-8a=4，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
（2）①当点E在直线CD的抛物线上方，记E′，连接CE′，过点E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，
由（1）得OC=4，
∵∠ACO=∠E′OF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{E′F′}{CF′}$=$\frac{1}{2}$，
设线段E′F′=h，则CF′=2h，
∴点E′（2h，h+4），
∵点E′在抛物线上，
∴-$\frac{1}{2}$（2h）²+2h+4=h+4，
∴h₁=0（舍去），h₂=$\frac{1}{2}$，
∴E′（1，$\frac{9}{2}$）；
②当点E在直线CD的抛物线下方；
同①的方法得，E（3，$\frac{5}{2}$），
综上，点E的坐标为（1，$\frac{9}{2}$），（3，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的解析式三种不同的形式是解题的关键．