Question

6．已知，如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上，∠AOB=30°，顶点B在x轴上，求此△OAB顶点A的坐标和△OAB面积．

Answer 1

分析 作AC⊥OB于C，设OC=x，根据题意得AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，则A（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x），根据k=x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=4$\sqrt{3}$，进一步求得A的坐标，根据射影定理求得BC，最后根据三角形面积求得即可．

解答 解：作AC⊥OB于C，
∵∠AOB=30°，
∴设OC=x，则AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴A（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x），
∵顶点A在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上，
∴x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=4$\sqrt{3}$，
∴x=2$\sqrt{3}$，
∴A（2$\sqrt{3}$，2 ），
∴OC=2$\sqrt{3}$，AC=2，
∵在Rt△AOB中，AC²=OC•BC，
∴BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）×2=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用了射影定理，三角形的面积公式．