Question

13．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x+2交于C，D两点，其中点 C在y轴上，点D的坐标为（3，$\frac{7}{2}$）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC上部的抛物线上运动，是否存在这样的点P，使得△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接PC，PB，BC，根据点P的横坐标为m，且点P在抛物上，得到点P的坐标为（m，-m²+$\frac{7}{2}$m+2），则PE=-m²+$\frac{7}{2}$m+2，OE=m，BE=4-m，OC=2，OB=4，根据S_△PCB=S_梯形OCPE+S_△PBE-S_△OBC确定二次函数，求得当m=2时有最值．
（3）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=$\frac{1}{2}$x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值．

解答 解：（1）在直线解析式y=$\frac{1}{2}$x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）．
∵点C（0，2）、D（3，$\frac{7}{2}$）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴c=2，
-9+3b+c=$\frac{7}{2}$，
解得b=$\frac{7}{2}$，c=2，
∴抛物线的解析式为y=-${x}^{2}+\frac{7}{2}x+2$；
（2）如图2，连接PC，PB，BC，

∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线y=-${x}^{2}+\frac{7}{2}x$+2上，
∴点P的坐标为（m，-m²+$\frac{7}{2}$m+2），
当y=0时，即$-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2=0$，
解得：${x}_{1}=-\frac{1}{2}，{x}_{2}=4$，
则PE=-m²+$\frac{7}{2}$m+2，OE=m，BE=4-m，OC=2，OB=4，
∴S_△PCB=S_梯形OCPE+S_△PBE-S_△OBC
=$\frac{1}{2}$[（PE+OC）•OE+BE•PE-OB•OC]
=$\frac{1}{2}$[（-m²+$\frac{7}{2}$m+2+2）•m+（-m²+$\frac{7}{2}$m+2+）（4-m）-2×4]
=-2m²+8m
=-2（m-2）²+8，
∴当m=2时，△PBC的面积最大；
（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴PF=OC=2，
∴将直线y=$\frac{1}{2}$x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．
由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．
将直线y=$\frac{1}{2}$x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=$\frac{1}{2}$x+4
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2}\end{array}\right.$
解得x₁=1，x₂=2，
∴m₁=1，m₂=2；
将直线y=$\frac{1}{2}$x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=$\frac{1}{2}$x
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2}\end{array}\right.$
解得x₃=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（在y轴左侧，不合题意，舍去），
∴m₃=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
∴当m为值为1，2或$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解．