Question

如图，在平面直角坐标系，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0．
（1）求a，b的值；
（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使S_△COM=

1

2

△ABC的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM的面积=

1

2

△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标为

 

．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）解方程组即可得出a，b的值，
（2）①先求出△ABC的面积，再利用△COM的面积是△ABC面积的

1

2

，求出点M的坐标．
②利用△COM的面积是△ABC面积的

1

2

，分别求出M在x轴负半轴上的坐标和在y轴上的坐标即可．

解答：解（1）∵|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0，
又∵|2a+b+1|和（a+2b-4）²都是非负数，
所以得

2a+b+1=0 a+2b-4=0

，
解方程组得，

a=-2 b=3

，
∴a=-2，b=3．
（2）①由（1）得A，B点的坐标为A（-2，0），B（3，0），|AB|=5．
∵C（-1，2），
∴△ABC的AB边上的高是2，
∴S△ABC=

1

2

×5×2=5．
要使△COM的面积是△ABC面积的

1

2

，而C点不变，即三角形的高不变，M点在x轴的正半轴上，只需使OM=

1

2

AB=

1

2

×5=

5

2

．
此时S△COM=

1

2

×

5

2

×2=

5

2

．
∴M点的坐标为M(

5

2

，0)
②由①中M(

5

2

，0)的对称点得M1(-

5

2

，0)，
当M在y轴上时，△COM的高为1，
∵△COM的面积=

1

2

△ABC的面积，
∴

1

2

|OM|×1=

5

2

∴OM=±5，
∴M₂（0，5）M₃（0，-5）．
故答案为：（-

5

2

，0），（0，5），（0，-5）．

点评：本题主要考查了坐标与图形性质与三角形的面积，解题的关键是在利用三角形的面积是确定高的长度．