Question

如图1，△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，以O为圆心的⊙O与AB边相切于点D．

（1）判断AC边与⊙O的位置关系，说明理由；

（2）如图2，若AB=5，BC=6，点F为⊙O上一动点，过点F作⊙O的切线分别交AD边、AC边于点G、H，连结OG、OH．

①设∠BAC=α，则∠GOH=　　　　　　（用含α的代数式表示）；

②若△OGH是以GH为腰的等腰三角形，求BG的长．

Answer 1

【考点】圆的综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）作OE⊥AC于E，连结OA、OD，如图1，先利用切线的性质得OD⊥AB，再根据等腰三角形的性质，由AB=AC，点O是BC的中点得到AO平分∠BAC，则利用角平分线的性质得到OE=OD，于是可根据切线的判定方法得到AC为⊙O的切线；

（2）①作OE⊥AC于E，BM⊥AC于M，连结OF、OD，如图2，由切线的性质得OF⊥GH，由切线长定理得GD=GF，HF=HE，于是可根据角平分线定理的逆定理得∠DOG=∠FOG，∠EOH=∠FOH，则∠GOH=∠DOE，再由四边形内角和得到∠DOE+∠A=180°，所以∠GOEH=90°﹣α；

②在图1中，AB=5，OB=OC=BC=3，利用勾股定理和面积法先计算出OA=5，OD=，BD=，BM=，AM=，接着分类讨论：当GH=GO时，∠GHO=∠GOH=90°﹣α，则∠OGH=α，于是可判断Rt△OGF∽Rt△BAM，利用相似比可计算出GF=，则DG=GF=，所以BG=BD+DG=；当GH=OH时，同样可证明Rt△OHF∽Rt△BAM，利用相似比可计算出FH=，OH=，则GH=OH=，所以GF=GH﹣FH==DG，则BG=BD+DG=．

【解答】解：（1）AC边与⊙O相切．理由如下：

作OE⊥AC于E，连结OA、OD，如图1，

∵以O为圆心的⊙O与AB边相切于点D，

∴OD⊥AB，

∵AB=AC，点O是BC的中点，

∴AO平分∠BAC，

∴OE=OD，

∴AC为⊙O的切线；

（2）①作OE⊥AC于E，BM⊥AC于M，连结OF、OD，如图2，

∵GH为⊙O的切线，

∴OF⊥GH，

∵AB和AC为⊙O的切线，

∴GD=GF，HF=HE，

∴∠DOG=∠FOG，∠EOH=∠FOH，

∴∠GOH=∠DOE，

∵∠DOE+∠A=180°，

∴∠GOEH=（180°﹣α）=90°﹣α，

故答案为90°﹣α；

②在图1中，AB=5，OB=OC=BC=3，则OA==5，

∵OD•AB=OB•OA，

∴OD==，

在Rt△BOD中，BD===，

在图2中，

∵BM•AC=BC•OA，

∴BM==，

在Rt△ABM中，AM===，

当GH=GO时，∠GHO=∠GOH=90°﹣α，

∴∠OGH=180°﹣2（90°﹣α）=α，

∴Rt△OGF∽Rt△BAM，

∴=，即=，解得GF=，

∴DG=GF=，

∴BG=BD+DG=+=；

当GH=OH时，∠GHO=∠GOH=90°﹣α，则∠OHG=α，

∴Rt△OHF∽Rt△BAM，

∴==，即==，解得FH=，OH=

∴GH=OH=，

∴GF=GH﹣FH=﹣=，

∴DG=GF=，

∴BG=BD+DG=+=，

综上所述，BG的长为或．

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的切线的判定与性质、切线长定理和等腰三角形的性质；会利用相似比和勾股定理计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．