Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（0，a）、（-a，0）（a＞0），点C是点B关于y轴的对称点，连接AB、AC，△ABC的面积为18．
①点C的坐标是（3$\sqrt{2}$，0）；
②动点D从动点B出发，沿x轴正方向运动，动点E从点A出发，沿y轴正方向运动，两点同时出发，运动速度均为1个单位长度/秒，连接DE，在DE右侧，以DE为斜边作等腰直角△DEF，设动点D的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示点F的坐标；
③在②的条件下，连接AD、OF，作线段AD的垂直平分线，与直线OF相交于点G，连接DG，直线DG与y轴相交于点K，当CA=CD时，求点K的坐标？

Answer 1

分析 ①根据三角形面积公式，列出方程即可解决问题．
②如图1中，作FM⊥BC于M，FN⊥OA于N，由△FNE≌△FMD，得到FN=FM，EN=DM，四边形FMON是正方形，设正方形边长为m，根据EN=DM，列出方程即可解决问题．
③分两种情形，如图2中，当点D在线段BC上时，如图3中，当点D在BC的延长线上时，分别求出直线DG解析式即可解决问题．

解答 解：①∵点C是点B关于y轴的对称点，B（-a，0），
∴点C坐标（a，0），
∵$\frac{1}{2}$•2a•a=18，a＞0，
∴a=3$\sqrt{2}$，
∴点C坐标（3$\sqrt{2}$，0）．
故答案为（3$\sqrt{2}$，0）

②如图1中，作FM⊥BC于M，FN⊥OA于N．

∵∠EFD=∠NFM=90°，
∴∠NFE=∠DFM，
在△FNE和△FMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NFE=∠DFM}\\{∠FNE=∠FMD}\\{EF=DF}\end{array}\right.$，
∴△FNE≌△FMD，
∴FN=FM，EN=DM，四边形FMON是正方形，设正方形边长为m，
则3$\sqrt{2}$+m-t=3$\sqrt{2}$+t-m，
∴m=t，
∴点F坐标为（t，t）．

③如图2中，当点D在线段BC上时，

由②可知直线OF解析式为y=x，
∵CA=CD=6，
∴点D坐标（3$\sqrt{2}$-6，0），
设直线AD解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=3\sqrt{2}}\\{（3\sqrt{2}-6）k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{2}+1}\\{b=3\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=（$\sqrt{2}$+1）x+3$\sqrt{2}$，
线段AD中垂线的解析式为y=（1-$\sqrt{2}$）x+6-3$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（1-\sqrt{2}）x+6-3\sqrt{2}}\end{array}\right.$解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{2}-3}\\{y=3\sqrt{2}-3}\end{array}\right.$，
∴点G坐标（3$\sqrt{2}$-3，3$\sqrt{2}$-3）．
设直线DG为y=mx+n，则$\left\{\begin{array}{l}{（3\sqrt{2}-3）m+n=3\sqrt{2}-3}\\{（3\sqrt{2}-6）m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{2}-1}\\{n=9\sqrt{2}-9}\end{array}\right.$，
∴直线DG解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x+9$\sqrt{2}$-9，
∴点K坐标为（0，9$\sqrt{2}$-9）．
如图3中，当点D在BC的延长线上时，

由题意可得直线AD解析式为y=（1-$\sqrt{2}$）x+3$\sqrt{2}$，
线段AD的垂直平分线为y=（$\sqrt{2}$+1）x-3$\sqrt{2}$-6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（\sqrt{2}+1）x-3\sqrt{2}-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3\sqrt{2}}\\{y=3+3\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴点G坐标（3+3$\sqrt{2}$，3+3$\sqrt{2}$），
∴可得直线DG解析式为y=（-1-$\sqrt{2}$）x+12+9$\sqrt{2}$，
∴点K坐标为（0，12+9$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、一次函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．