Question

3．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．
（Ⅰ）如图①当E点恰好落在线段AB上时，求E点坐标；
（Ⅱ）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，当E点到达△AOB的外面，且点D在点B左侧时，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图②，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请直接指出这条线段；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意作辅助线，作EH⊥OB于点H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，从而得出点E的坐标；
（2）根据题意，当E点到达△AOB的外面，且点D在点B左侧时，2＜x＜4即可；
（3）假设存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，从而得到OO′=EF；

解答 解：（1）作EH⊥OB于点H，
∵△OED是等边三角形，
∴∠EOD=60°．
又∵∠ABO=30°，
∴∠OEB=90°．
∵BO=4，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=2．
∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°
∴OH=1，EH=$\sqrt{3}$，
∴E（1，$\sqrt{3}$）．
（2）当2＜x＜4，符合题意，
如图，

所求重叠部分四边形OD′NE的面积为：
S_△OD′E-S_△E′EN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x₂-$\frac{1}{2}$E′E×EN
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{x-2}{2}$×$\sqrt{3}$（x-2）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$
（3）存在线段EF=OO'．
∵∠ABO=30°，∠EDO=60°
∴∠ABO=∠DFB=30°，
∴DF=DB．
∴OO′=4-2-DB=2-DB=2-DF=ED-FD=EF

点评 此题是几何变换综合题，主要考查利用三角函数求线段长度，动点问题是中考的重点内容，此题难度较大．