Question

13．如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交AB的延长线于点F，连结DE．
（1）求证：△CDE∽△CFM；
（2）求⊙O的半径；
（3）求CE•CF的值．

Answer 1

分析 （1）直径所对的圆周角是直角，再用公共角直接得到△CDE∽△CFM；
（2）连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到BM=AM=$\frac{1}{2}$AB=4，在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，根据勾股定理得BM=4k，
则4k=4，解得k=1，于是得到圆O的半径为5；
（3）连结AE，如图，在Rt△ACM中，CM=OC+OM=8，AM=4，由勾股定理计算出AC2=AM2+CM2=80，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到弧AC=弧BC，在根据圆周角定理得∠AEC=∠CAF，易证得△CAE∽△CFA，得到相似比，然后根据比例性质得CE•CF=AC2=80．

解答 证明：（1）∵直径CD⊥AB于M，
∴∠CMF=∠CED=90°，
∵∠DCE=∠FCM，
∴△CDE∽△CFM，
（2）连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k
∵直径CD⊥AB，
∴BM=AM=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，
∴BM=4k，
∴4k=4，
∴k=1，
∴⊙O的半径为5；
（3）连结AE，在Rt△ACM中，CM=OC+OM=5+3=8，AM=4，
∴AC²=AM²+CM²=16+64=80，
∵直径CD⊥AB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴∠AEC=∠CAF，
又∵∠ACF=∠FCA，
∴△CAE∽△CFA，
∴$\frac{AC}{CF}=\frac{CE}{AC}$，
∴CE•CF=AC²=80．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆中证明三角形相似的方法，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是勾股定理的灵活运用．