Question

14．已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点F为CD上任意一点（不与C、D重合），过点F作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．
（1）①依题意补全图1；
②线段EF、CF、AE之间的等量关系是AE²=EF²+CF²．
（2）在图1中将△DEF绕点D逆时针旋转，当点F、E、C在一条直线上（如图2）．线段EF、CE、AE之间的等量关系是AE=CE+2EF．写出判断线段EF、CE、AE之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）

Answer 1

分析 （1）①依题意补全图形如图1所示；
②由菱形的性质得到AE=CE，然后用勾股定理得到CE²=EF²+CF²，代换即可；
（2）作辅助线，得到DE=DG，∠EDG=2∠EDF，再由旋转和菱形的性质得到∠ADE=∠CDG，判断出△ADE≌△CDG，即AE=CG，最后代换即可．

解答 解（1）①依题意补全图形如图1所示，

②连接CE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∴AE=CE，
∵EF⊥CD，
∴∠EFC=90°，
根据勾股定理得，CE²=EF²+CF²，
∴AE²=EF²+CF²，
故答案为AE²=EF²+CF²；
（2）如图2，

延长EF至G，使EF=FG，连接DG，
∴EG=2EF，
∵DF⊥CF，
∴DE=DG，∠EDG=2∠EDF
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADC=2∠0DC=60°，
由旋转得，∠ODC=∠EDF，
∴∠ADC=∠EDG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG=CE+EG=CE+2EF，
∴AE=CE+2EF，
故答案为AE=CE+2EF．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定，解本题的关键是作出辅助线．