Question

16．（1）问题发现：如图（1），小明在同一个平面直角坐标系中作出了两个一次函数y=x+1和y=x-1的图象，经测量发现：∠1=∠2（填数量关系）则l₁∥l₂（填位置关系），从而二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=x-1\end{array}\right.$无解．
（2）问题探究：小明发现对于一次函数y=k₁x+b₁与y=k₂x+b₂（b₁≠b₂），设它们的图象分别是l₁和l₂（如备用图1）
①如果k₁=k₂（填数量关系），那么l₁∥l₂（填位置关系）；
②反过来，将①中命题的结论作为条件，条件作为结论，所得命题可表述为如果l₁∥l₂，那么k₁=k₂，，请判断此命题的真假或举出反例；
（3）问题解决：若关于x，y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{a_1}x+{b_1}y={c_1}\\{a_2}x+{b_2}y={c_2}\end{array}\right.$（各项系数均不为0）无解，那么各项系数a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂应满足什么样的数量关系？请写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）分别证明△AOB和△COD是等腰直角三角形，则∠1=∠2=45°，所以l₁∥l₂；
（2）①证明△AOP≌△BFQ，即可得出结论；
②同理证明△AOP≌△BFQ，即可得出结论；
（3）根据方程组表示出直线的解析式，根据方程组无解，可知两直线平行，则根据当b₁≠b₂，k₁=k₂，列式可得结论．

解答 解：（1）如图（1），y=x+1中，
当x=0时，y=1，
当y=0时，x=-1，
∴A（0，1），B（-1，0），
∴OA=OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴∠1=45°，
同理求得∠2=45°，
∴∠1=∠2，
∴l₁∥l₂，
故答案为：=，∥；
（2）①当k₁=k₂时，如备用图1，
过P作PQ∥x轴，交l₂于Q，过Q作QF⊥x轴于F，
∴OP=QF，
当y=0时，k₁x+b₁=0，x=-$\frac{{b}_{1}}{{k}_{1}}$，
∴OA=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{1}}$，
当x=0时，y=b₁，
∴P（0，b₁），
∵PQ∥x轴，
∴点P与点Q的纵坐标相等，
当y=b₁时，b₁=k₂x+b₂，x=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{k}_{2}}$，
∴OF=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{k}_{2}}$，
在y=k₂x+b₂中，当y=0时，0=k₂x+b₂，x=-$\frac{{b}_{2}}{{k}_{2}}$，
∴OB=-$\frac{{b}_{2}}{{k}_{2}}$，
∴BF=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{k}_{2}}$-（-$\frac{{b}_{2}}{{k}_{2}}$）=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{2}}$，
∵k₁=k₂，
∴OA=BF，
∵∠AOP=∠BFQ=90°，
∴△AOP≌△BFQ，
∴∠1=∠2，
∴l₁∥l₂；
则当k₁=k₂时，l₁∥l₂；
∴故答案为：=，∥；
②将①中命题的结论作为条件，条件作为结论，所得命题可表述为：
如果l₁∥l₂，那么k₁=k₂，此命题为真命题；
理由是：∵l₁∥l₂，
∴∠1=∠2，
∵∠AOP=∠BFQ=90°，OP=FQ，
∴△AOP≌△BFQ，
∴OA=BF，
同理可得：OA=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{1}}$，BF=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{k}_{2}}$-（-$\frac{{b}_{2}}{{k}_{2}}$）=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{2}}$，
∴$\frac{{b}_{1}}{{k}_{1}}$=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{2}}$，
∵b₁≠b₂，
∴k₁=k₂；
③由a₁x+b₁y=c₁得：y=-$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}x+\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$，
由a₂x+b₂y=c₂得：y=-$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}x+\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$，
∵方程组$\left\{\begin{array}{l}{a_1}x+{b_1}y={c_1}\\{a_2}x+{b_2}y={c_2}\end{array}\right.$无解，
∴直线y=-$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}x+\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$和直线y=-$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}x+\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$平行，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}=-\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}}\\{\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}≠\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}}\end{array}\right.$，
则$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与二元一次方程组的关系，两直线平行时比例系数满足的关系，坐标与图形性质，考查了阅读理解的能力，熟练掌握求一次函数与两坐标轴的交点是解本题的关键．