Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．

（1）问题发现

当a＝0°时，AF＝ ，BE＝ ，＝ ；

（2）拓展探究

试判断：当0°≤a°＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

（3）问题解决

当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）无变化，理由见解析；（3）BE的值为或

【解析】

（1）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质得出DG＝EF＝3，AG＝11，再利用勾股定理求出即可得；

（2）如图（见解析），先根据相似三角形的判定与性质得出，∠ECF＝∠ACB，从而可得，∠ACF＝∠BCE，再根据相似三角形的判定与性质即可得；

（3）分两种情况：E在A、F之间和点F在A、E之间，分别利用勾股定理求出AE的长，再利用线段的和差求出AF的长，然后结合（2）的结论即可求出BE的长．

（1）当a＝0°时，如图，过点F作FG⊥AD于G

∵四边形ABCD是矩形

∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6

由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四边形DEFG是矩形

∴DG＝EF＝3，AG＝11

∵CE＝4，CD＝6

∴FG＝DE＝2

在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝

同理可得：BE＝

∴=；

（2）的大小无变化，理由如下：

如图，连接AC

∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4

∴，

∴=

∵∠CEF＝∠ABC＝90°

∴△CEF∽△CBA

∴，∠ECF＝∠ACB

∴，∠ACF＝∠BCE

∴△ACF∽△BCE

∴，即的大小无变化；

（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：

①如图，点E在A、F之间，连接AC

Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10

同理可得：CF＝5

由（2）知：

Rt△AEC中，由勾股定理得：AE＝

∴AF＝AE+EF＝

∴BE＝AF＝＝；

②如图，点F在A、E之间时，连接AC

同理可得：AF＝AE﹣EF＝

∴BE＝AF＝＝；

综上所述，BE的值为或．