Question

5．在△ABC中，中线BD与高线CE交于F，EF=1，BE=2，△ABC的面积为20，则线段AE的长度为6．

Answer 1

分析 作DH⊥AB，设EH=x，DH=y，由BD△ABC的中线，于是得到S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB．DH=$\frac{1}{2}$（2+2x）y=10，求得（1+x）y=10，①通过△BEF∽△BDH，根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{DH}=\frac{BE}{BH}$，即$\frac{1}{y}=\frac{2}{2+x}$，于是得到2y=2+x，②解方程组即可得到结论．

解答 解：作DH⊥AB于H，
设EH=x，DH=y，
∵BD△ABC的中线，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB．DH=$\frac{1}{2}$（2+2x）y=10，
∴（1+x）y=10，①
∵DH⊥AB，CE⊥AB，
∴DH∥CE，
∴△BEF∽△BDH，
∴$\frac{EF}{DH}=\frac{BE}{BH}$，即$\frac{1}{y}=\frac{2}{2+x}$，
∴2y=2+x，②
由①②解得：x=3（负值舍去），
∴EH=3，
∵DH∥CE，AD=CD，
∴AE=2EH=6．

点评 本题考查了三角形的中位线的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键