Question

13．如图，在矩形ABCD中，E为边CD的中点，连接AE、BE、BE交AC于点O
（1）求证：AE=BE；
（2）求$\frac{OE}{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由在矩形ABCD中，E为边CD的中点，可利用SAS证得△ADE≌△BCE，则可证得AE=BE；
（2）由四边形ABCD是矩形，易证得△AOB∽△COE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCE=90°，AD=BC，
∵E为边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠BCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AOB∽△COE，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{CE}{AB}$，
∵E为边CD的中点，
∴CE：AB=CE：CD=1：2，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ADE≌△BCE与△AOB∽△COE是解此题的关键．