Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．
（1）当PQ∥AD时，求x的值；
（2）若线段PQ的垂直平分线与BC边相交于点M，设BM=y，求y关于x的函数关系式；
（3）若线段PQ的垂直平分线始终与BC边相交，求x的取值范围．

Answer 1

考点：矩形的性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：动点型

分析：（1）根据矩形的性质可以求出AB=CD及AB∥CD，再有AD∥PQ可以得出四边形ADQP是平行四边形，由其性质就可以得出DQ=CQ，从而求出CQ的值而求出PA的值；
（2）根据中垂线的性质可以得出EP=EQ，由勾股定理就可以表示出EP²=PB²+BE²，EQ²=EC²+CQ²，由AP=x，BE=y，就可以表示出BP=8-x，EC=6-y，从而可以得出y与x之间的函数关系式；
（3）根据（2）可知y和x的函数关系式，因为线段PQ的垂直平分线始终与BC边相交，即0≤x≤6，由此可求出x的取值范围．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=8．∠A=∠D=∠C=∠B=90°．
∵PQ∥AD，
∴四边形ADQP是平行四边形，
∴AP=DQ．
∵AP=CQ，
∴DQ=CQ
∴DQ=

1

2

CD=4，
∴AP=4．

（2）如图2，∵EF是线段PQ的垂直平分线，
∴EP=EQ，
在Rt△BPE和Rt△ECQ中，由勾股定理，得
EP²=PB²+BE²，EQ²=EC²+CQ²，
∵AP=x，BE=y，
∴BP=8-x，EC=6-y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=

4x-7

3

；
（3）∵0≤y≤6，
∴0≤

4x-7

3

≤6，
∴

7

4

≤x≤

25

4

．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，中垂线的性质的运用，勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．