Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=30°，AB=3，以AC为边向外作等边△ACD，BD=5．求BC长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，由三角形ABE与三角形ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AE=AB，AD=AC，且∠EAB=∠DAC=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EAC与三角形BAD全等，利用全等三角形的对应边相等得到EC=BD=5，再由∠EBA+∠ABC=∠EBC，得到三角形EBC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长即可．

解答：解：以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，
∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，

AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD

，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=EC=5，
∵∠EBA=60°，∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°，
在Rt△EBC中，EC=5，EB=3，
根据勾股定理得：BC=

52-32

=4．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．