Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）试探究线段CD、DE、EO之间的等量关系，并加以证明；
（2）若tanC=

5

2

，DE=2，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD，BD，求出∠ADB=∠BDC=90°，推出DE=BE=CE，推出∠EDB=∠EBD，∠OBD=∠ODB，推出∠EDO=∠EBO=90°即可；
（2）BD=

5

x，CD=2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出（

5

x）²+（2x）²=16，求出x，求出BD，根据tan∠ABD=tanC求出AD=

5

2

BD，代入求出即可；
（3）根据tanC=

5

2

=

BD

DC

，设BD=

5

x，CD=2x，DE=2，在Rt△BCD中根据勾股定理得出BD的长，再根据两角互补的性质得出∠ABD=∠C，故可得出tan∠ABD=tanC，即tan∠ABD=

AD

BD

=

5

2

，由此即可得出结论．

解答：解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°．
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=CE．
∴∠EBD=∠EDB．
∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB．∴∠EDO=∠EBO=90°．
∴DE与⊙O相切．

（2）由题意，可得OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE．
∵∠ABC=∠BDC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
∴

BC

CD

=

AC

BC

，即BC²=CD•AC．         
∵BC=2EB=2DE，AC=2EO，
∴4DE²=CD•2EO．
即2DE²=CD•EO．

（3）∵tanC=

BD

CD

=

5

2

，可设BD=

5

x，CD=2x，
∵在Rt△BCD中，BC=2DE=4，BD²+CD²=BC²．
∴（

5

x）²+（2x）²=16．
解得：x=±

4

3

（负值舍去）．  
∴BD=

5

x=

4

3

5

． 
∵∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tanC．
∴AD=

5

2

BD=

5

2

×

4

3

5

=

10

3

．
答：AD的长是

10

3

．

点评：本题综合考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，切线的判定等知识点，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，注意：①证切线的方法，②方程思想的运用．