Question

如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGF，如此下去…．
（1）记正方形ABCD的边长为a₁=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a₂，a₃，a₄，…，a_n，求出a₄=

 

；
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长a_n的表达式

 

．（n＞=1）（n是自然数）

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：规律型

分析：（1）根据正方形的性质得出∠B=90°，AB=BC=1，根据勾股定理求出即可；
（2）根据（1）中求出的结果得出规律，即可得出答案．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC=1，
∴a₁=1=（

2

）⁰，
由勾股定理得：a₂=AC=

12+12

=

2

=（

2

）¹，
同理由勾股定理得：a₃=

( 2 )2+( 2 )2

=2=（

2

)²，
a₄=

22+22

=2

2

，
故答案为：2

2

；

（2）∵a₁=（

2

）⁰=1，a₂=（

2

）¹，a₃=（

2

）²，a₄=（

2

）³，…，
∴a_n=（

2

）^n-1，
故答案为：a_n=（

2

）^n-1．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，题目比较好，难度适中．