Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=

4

5

．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或

25

2

；
④0＜CE≤6.4．
其中正确的结论是

 

．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：推理填空题

分析：①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明．
②由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得．
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．

解答：解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正确，

②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=

4

5

，
∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×

4

5

=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC，
在△ABD与△DCE中，

∠BAD=∠CDE ∠B=∠C AB=DC

∴△ABD≌△DCE（ASA）．
故②正确，

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=

4

5

，AB=10，
BD=8．
当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=

4

5

．AB=10，
∴cosB=

AB

BD

=

4

5

，
∴BD=

25

2

．
故③正确．

④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，
设BD=y，CE=x，
∴

AB

DC

=

BD

CE

，
∴

10

16-y

=

y

x

，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∴0＜x≤6.4．
故④正确．
故答案为：①②③④

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等．