Question

4．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E．
（1）求证：BE²=EG•EA；
（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，得到∠ABC=90°，得到∠ABC=∠BGE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）证得BE²=EG•EA，推出△CEG∽△AEC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABC=∠BGE=90°，
∵∠BEG=∠AEB，
∴△ABE∽△BGE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{BE}{EG}$，
∴BE²=EG•EA；

（2）由（1）证得BE²=EG•EA，
∵BE=CE，
∴CE²=EG•EA，
∴$\frac{CE}{EG}$=$\frac{AE}{CE}$，
∵∠CEG=∠AEC，
∴△CEG∽△AEC，
∴∠ECG=∠EAC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．