Question

3．用换元法解方程：（x²-2x+2）（2x²-3x-1）+x²-x-4=0．

Answer 1

分析 原方程变形为：（x²-2x+2）（x²-2x+2+x²-x-3）+x²-x-3-1=0，设x²-2x+2=y，x²-x-3=z，原方程化为：y（y+z）+z-1=0，得到y+$\frac{1}{2}$z=±（$\frac{1}{2}$z-1），再分当y+$\frac{1}{2}$z=$\frac{1}{2}$z-1时；当y+$\frac{1}{2}$z=-（$\frac{1}{2}$z-1）时；两种情况讨论可得方程的解．

解答 解：原方程变形为（x²-2x+2）（x²-2x+2+x²-x-3）+x²-x-3-1=0．
设x²-2x+2=y，x²-x-3=z，
原方程化为：y（y+z）+z-1=0，
整理得：y²+yz+$\frac{1}{4}$z²-$\frac{1}{4}$z²+z-1=0，即y+$\frac{1}{2}$z=±（$\frac{1}{2}$z-1），
当y+$\frac{1}{2}$z=$\frac{1}{2}$z-1时，y=-1，
x²-2x+2=-1，
x²-2x+3=0，
因为b²-4ac=4-12＜0
所以x²-2x+3=0无解；
当y+$\frac{1}{2}$z=-（$\frac{1}{2}$z-1）时，则y+z=1，
x²-2x+2+x²-x-3=1，
2x²-3x-2=0，
解得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=2，
故原方程的解为x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=2．

点评 考查了解一元二次方程，通过观察确定用来换元的式子是解题的关键，本题涉及了分类思想的运用．