Question

【题目】如图，ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，点O在BC边的中线AD上，OB 平分∠ABC，⊙O与BC相切于点E．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）求⊙O的半径；

（3）求tan∠BAD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）作OF垂直AB于点F，然后根据角平分线的性质定理即可证得OE=OF，从而证得结论；

（2）根据勾股定理求得BC，进而求得CD=DB=2，设⊙O的半径为r，然后根据S△ACD+S△COB+S△AOB=S△ABC，得到ACCD+BDr+ACBC，解关于r的方程即可求得半径；

（3）证得Rt△ODE∽Rt△ADC，根据相似三角形的性质求得DE=，即可求得BF=BE=，AF=AB-BF=，解直角三角形即可求得．

解：（1）证明：如图，作OF⊥AB于点F，

∵⊙O与BC相切于点E，

∴OE⊥BC

又∵OB 平分∠ABC

∴OE=OF，

∴AB为⊙O的切线

（2）∵∠C=90°，AC=6，AB=10，

∴由勾股定理得BC=8，

又D为BC的中点，

∴CD=DB=4，

设⊙O的半径为r，

∵S△ACD+S△BOD+S△AOB=S△ABC

∴12+2r+5r=24 ，解得r=

∴⊙O的半径为

（3）解：∵∠C=90°，OE⊥BC，

∴OE∥AC，

∴Rt△ODE∽Rt△ADC，

∴，

∴DE=，

又OE=OF，OB=OB

∴Rt△BOE≌Rt△BOF

∴BF=BE=，

∴AF=AB﹣BF=

∴．/span>