Question

已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=2a．在AC、BC上分别有一动点P、Q，且PQ始终平分△ABC的面积．作PR⊥CA交AB于R，QS⊥BC交AB于S．线段BS、SR、RA能否构成一个直角三角形，证明你的猜想．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,勾股定理的逆定理

专题：探究型

分析：设CP=b，则可以用b表示出AP的长，然后利用S_△CPQ=

1

2

S_△ABC，表示出BQ的长，根据△APR∽△ACB，相似三角形的对应边的比相等，即可利用a、b表示出AR的长，同理可以表示出BS的长，则ER可以表示出，然后利用勾股定理的逆定理即可判断．

解答：证明：∵直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=2a，
∴AB=

AC2+BC2

=

5

a，
设CP=b，则AP=a-b，
设CQ=x，∵S_△CPQ=

1

2

S_△ABC，即

1

2

bx=

1

2

×

1

2

a•2a，
∴x=

a2

b

，即CQ=

a2

b

，BQ=2a-

a2

b

=

2ab-b2

b

．
∵PR∥BC，
∴△APR∽△ACB，
∴

AP

AC

=

AR

AB

，
∴AR=

AP•AB

AC

=

(a-b)• 5 a

a

=

5

（a-b），
同理，BS=

BQ•AB

BC

=

2ab-b2 b • 5 a

2a

=

5 (2ab-b2)

2b

，
∴SR=

5

a-

5

（a-b）-

5 (2ab-b2)

2b

=

2 5 ab+ 5 b2

2b

=

5 (2ab+b2)

2b

．
∵[

5

（a-b）]²+[

5 (2ab-b2)

2b

]²=[

5 (2ab+b2)

2b

]²，
即AR²+BS²=SR²．
∴线段BS、SR、RA能构成一个直角三角形．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理，以及相似三角形的性质，正确表示出AR的长度是关键．