Question

15．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD、CE交于点O．
（1）若∠ABC=42°，∠ACB=48°，则∠BOC=135°．
（2）若∠A=70°，则∠BOC=125°．
（3）若∠A=120°，则∠BOC=150°．
（4）若∠A=α°，请猜想∠BOC的度数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的性质得出∠OBC与∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先根据∠A=40°求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；
（3）先根据∠A=120°求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；
（4）根据∠A=x°求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠ABC=42°，∠ACB=48°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×42°=21°，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×48°=24°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-21°-24°=135°；
故答案是：135°；

（2）∵在△ABC中，∠A=70°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，
∴∠BOC=180°-55°=125°；
故答案是：125°；

（3）∵在△ABC中，∠A=120°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴∠BOC=180°-30°=150°；
故答案是：150°；

（4）在△ABC中，∠A=x°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-x°）=90°-$\frac{1}{2}$x°，
∴∠BOC=180°-（90°-x°）=90°+$\frac{1}{2}$x°

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．