Question

3．如图，在平面直角坐标系中，A（a，4），B（b，1），C（c，0），且（b-a+2）²+$\sqrt{b-3a}$+|c-1|=0．
（1）求a，b，c；
（2）若将线段AB，以1个单位/s的速度沿x轴方向向右平移，t秒后平移后的三角形ABO与平移前的三角形ABC的面积相等，求运动时间t；
（3）过原点O的一条直线e上任意一点的坐标P（m，n）都满足n=3m，例如直线e上的点（1，3），（1.5，4.5），（-1，-3），（-2，-6），…，等都满足n=3m，在坐标轴上是否存在一点N，同时在直线e上是否存在一点M，使得四边形ABMN或四边形ABNM构成平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质即可解决问题；
（2）切线直线AB的解析式，求出直线AB与x轴的交点M，设t秒后平移后的三角形ABO与平移前的三角形ABC的面积相等，则平移后直线AB的解析式为y=$\frac{3}{2}$（x-t）+$\frac{11}{2}$，与x轴的交点M为（t-$\frac{11}{3}$，0），A（t-1，4），B（t-3，1），$\frac{1}{2}$构建方程即可解决问题；
（3）由题意点M在直线y=3x上，当点M的横坐标为±2或纵坐标为±3时，满足条件，再分别求解即可解决问题；

解答 解：（1）∵（b-a+2）²+$\sqrt{b-3a}$+|c-1|=0，
又∵（b-a+2）²≥0，$\sqrt{b-3a}$≥0，|c-1|≥0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{b-a+2=0}\\{b-3a=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\\{c=1}\end{array}\right.$．

（2）如图1中，

∵A（-1，4），B（-3，1），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{11}{2}$，
∴直线与x轴的交点M（-$\frac{11}{3}$，0），
∴S_△ABC=S_△ACM-S_△BCM=$\frac{1}{2}$×$\frac{14}{3}$×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{14}{3}$•1=7，
设t秒后平移后的三角形ABO与平移前的三角形ABC的面积相等，
则平移后直线AB的解析式为y=$\frac{3}{2}$（x-t）+$\frac{11}{2}$，与x轴的交点M为（t-$\frac{11}{3}$，0），A（t-1，4），B（t-3，1），
∴$\frac{1}{2}$•（t-$\frac{11}{3}$）•（4-1）=7，
∴t=$\frac{25}{3}$s．

（3）如图2中，

由题意点M在直线y=3x上，当点M的横坐标为±2或纵坐标为±3时，分别得到M₁（2，6），M₂（1，3），M₃（-1．-3），M₄（-2，-6），
作M₁N₁∥AB交y轴于N₁，易知N₁（0，3），由△ABK≌△M₁N₁H₁，可知AB=M₁N₁，点N₁满足条件，
同法可得N₂（-1，0），N₃（1，0），N₄（0，-3）也满足条件．

点评 本题考查四边形综合题、一次函数的应用、三角形的面积、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．