Question

5．已知：如图，AE平分△ABC的一个外角∠CAF，且AE∥BC．
（1）若作∠ABC的平分线与AE交于点D，试判断△ABD的形状，并说明理由．
（2）设BD与AC交于点M，若AM=BM=BC，求∠BAC的大小．

Answer 1

分析 （1）由AE∥BC可得出∠FAD=∠ABC，根据角平分线的性质结合三角形外角的性质可得出∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=∠ADB，由此可得出△ABD为等腰三角形；
（2）根据角平分线的性质结合三角形外角的性质可得出∠ABC=∠ACB，设∠BAC=α，根据等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出∠ABC=∠ACB=2α，再利用三角形内角和定理即可求出α的值，此题得解．

解答 解：（1）△ABD为等腰三角形，理由如下：
∵AE∥BC，
∴∠FAD=∠ABC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC．
∵∠FAD=∠ABD+∠ADB，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ABC=∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形．
（2）∵AE平分∠CAF，
∴∠CAF=2∠FAD=2∠ABC．
∵∠CAF=∠ABC+∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB．
设∠BAC=α，
∵AM=BM=BC，
∴∠BAM=∠ABM=α，∠BMC=∠BCM=2α，
∴∠ABC=2α．
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴α+2α+2α=180°，
∴α=36°．
∴∠BAC=36°．

点评 本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）根据角平分线的性质结合三角形外角的性质找出∠ABD=∠ADB；（2）根据三角形内角和定理列出关于α的一元一次方程．