Question

20．已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合），在同一平面内，把线段AP、BP分别折成等边△CDP和△EFP，且D、P、F三点共线，如图所示．
（1）若DF=2，求AB的长；
（2）若AB=18时，等边△CDP和△EFP的面积之和是否有最大值，如果有最大值，求最大值及此时P点位置，若没有最大值，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质容易得出结果；
（2）设CD=PC=PD=x，则EF=EP=PF=6-x，求出等边△CDP和△EFP的面积之和S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-3$\sqrt{3}$x+9$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0，得出S有最小值，没有最大值．

解答 解：（1）∵△CDP和△EFP是等边三角形，
∴CD=PC=PD，EF=EP=PF，AP=3PD，BP=3PF，
∵DF=PD+PF=2，
∴AB=AP+BP=3DF=3×2=6；
（2）没有最大值，理由如下：
设CD=PC=PD=x，则EF=EP=PF=$\frac{1}{3}$（18-3x）=6-x，
作CM⊥PD于M，EN⊥PF于N，
则DM=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$x，PN=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{1}{2}$（6-x），
∴CM=$\sqrt{3}$DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x），
∴△CDP的面积=$\frac{1}{2}$PD•CM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，△EFP的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-x）²，
∴等边△CDP和△EFP的面积之和S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-x）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-3$\sqrt{3}$x+9$\sqrt{3}$，
∵$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0，
∴S有最小值，没有最大值．

点评 本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、二次函数的最值等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质是解决问题的关键．