Question

4．如图，二次函数y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3的图象与x轴交于A、B两点，与C轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）在线段AB上是否存在点P，使得∠PCB=∠BAC？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，说明理由；
（3）设点G、H是二次函数图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点G、H，使△AGH≌△ABH？如果存在，请举例验证你的猜想？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的性质和坐标轴上点的特点，求出点A，B，C的坐标；
（2）先判断出△PBC∽△CBA，得到$\frac{BP}{BC}=\frac{BC}{BA}$，建立方程从而求得a即可；
（3）先判断出符合要求的点G，即点G和点C重合，然后说明△AGH≌△ABH即可．

解答 解：（1）令y=0，得，-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3=0，
∴x₁=1，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（1，0），
令x=0，得，y=3，
∴C（0，3）
（2）假设存在点P（a，0），使得∠PCB=∠BAC，
∵∠PCB=∠BAC，∠PBC=∠CBA，
∴△PBC∽△CBA，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BC}{BA}$，
∵BC=$\sqrt{10}$，BA=5，
∴$\frac{1-a}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴a=-1，
∴存在点P（-1，0）；
（3）存在点G，H，使△AGH≌△ABH，
如图，

∵A（-4，0），C（0，3），B（1，0）
∴AB=5，AC=5，
∴AB=AC，
故点C就是符合要求的一个点G，
作∠BAC的平分线交抛物线于点H，连接BH，CH（GH），
∴∠CAH=∠BAH，
∵AH=AH，
∴△AGH≌△ABH，
∴当点G和点C重合时，△AGH≌△ABH．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，坐标轴上点的特点，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是判断三角形相似和全等．