Question

18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为3，则其底边上的高是$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①三角形是钝角三角形时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=$\frac{1}{2}$AB，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC=30°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答，②三角形是锐角三角形时，判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．

解答 解：①三角形是钝角三角形时，如图1，
∵∠ABD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$（90°-30°）=30°，
∴∠ABD=∠ABC，
∴底边BC上的高AE=AD=$\frac{3}{2}$；
②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴底边上的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$×3=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
综上所述，底边上的高是$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．