Question

18．（1）如图所示，点P在⊙O外，过点P作两射线，分别与⊙O相交于点A、B、C、D，猜想$\widehat{AB}$的度数、$\widehat{CD}$的度数与∠P之间的数量关系，并进行证明．
（2）当点P在圆内时，猜想$\widehat{AC}$的度数、$\widehat{BD}$的度数与∠APC之间的数量关系，并进行证明．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，根据圆内接四边形和圆周角定理进行计算即可得到答案；
（2）连接BD、BC、CA，根据三角形的外角的性质和圆周角定理计算即可．

解答 解：（1）连接AC，BD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ACP=∠B，∠CAP=∠D，
∵∠P=∠BAC-∠PAC
=∠BAC-∠B
=$\frac{1}{2}$（$\widehat{BD}$+$\widehat{CD}$）的度数-$\frac{1}{2}$（$\widehat{AC}$+$\widehat{CD}$）的度数
=$\frac{1}{2}$（$\widehat{BD}$-$\widehat{AC}$+）的度数；
（2）连接BD、BC、CA，
∵∠APC=∠PBC+∠PCB
=$\frac{1}{2}$$\widehat{AC}$的度数+$\frac{1}{2}$$\widehat{BD}$ 的度数．

点评 本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质和圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．