Question

7．在△ABC中，点P是BC上一动点（与B、C不重合），过点P作PD∥AC交AB于D．作PE∥AB交AC于E，则四边形AEPD是平行四边形．
（1）当P运动到何处时，?AEPD是菱形，说明理由．
（2）根据（1）的研究成果，将一张三角形纸片折叠两次，折出一个菱形的四个顶点，再顺次连结成菱形，在备用图中画出两条折线，并作简要说明．

Answer 1

分析 （1）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判断即可；
（2）先折出角平分线AP，再折出AP的中垂线，即可得到菱形的四个顶点．

解答 解：（1）当AP平分∠BAC时，即点P在∠BAC的平分线与BC的交点位置时，四边形AEPD为菱形，理由如下：
当AP平分∠BAC时，∠1=∠2，
∵AC∥DP，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=PD，
又∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四边形ADPE是平行四边形，
∴四边形ADPE是菱形；
（2）如图所示，先把∠BAC对折，折痕AP即为∠BAC的平分线，即AP为第一条折痕；
再则AP的中垂线，使A与P重合，DE为第二条折痕；
连接DP，EP，则四边形ADPE为菱形．

点评 本题主要考查了菱形的判定，利用轴对称进行作图以及平行四边形的判定的综合应用，解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．