Question

15．如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于E，EF∥AC交AB于F．
（1）求证：BE=AF；
（2）连接DF，试探究当△ABC满足什么条件时，使得四边形BEDF是菱形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ADEF是平行四边形，再根据平行四边形的性质和等量关系即可证明结论成立；
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以解答本题．

解答 （1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠BDE=∠DBE，
∴BE=DE，
∵EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF=DE，
∴AF=BE；
（2）解：当AB=BC时，四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠A=∠BFE，∠C=∠BFE，
∴∠BFE=∠BFE，
∴BF=BE，
∵DE=BE，
∴BF=DE，
∵DE∥AB，
∴四边形BEDF是菱形．

点评 本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用平行四边形的判定与性质、菱形的判定解答．