Question

19．当a为何值时，四边形PABN的周长最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短，再求出AB″+AB+PN的值即可．

解答 解：如图，

将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，-1），
则AB″=$\sqrt{（1-2）^{2}+（3+1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵A（1，3），B（4，1），P（a，0），N（a+2，0），
∴AB=$\sqrt{（1-4）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，PN=2，
∴四边形PABN的周长的最小值=$\sqrt{17}$+$\sqrt{13}$+2．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知轴对称图形的性质，“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．