Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CE平分∠ACB，DE是AB的中垂线．
（1）求DE的长；
（2）连AE，求AE的长；
（3）若CE交AB于点F，求CF的长．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）如图，首先求出MF、CM、DF的长度；证明△CMF∽△EDF，得到

CM

DE

=

MF

DF

，求出DE即可解决问题．
（2）直接运用勾股定理求出AE即可解决问题．
（3）直接运用勾股定理求出CF即可解决问题．

解答： 解：（1）如图，过点C作CM⊥AB于点M；
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5；而CF平分∠ACB，
∴

AF

BF

=

AC

BC

=

3

4

，而AF+BF=5，
解得：AF=

15

7

；由射影定理得：
AC²=AM•AB，
∴AM=

9

5

，MF=AF-AM=

12

35

，BM=5-AM=

16

5

；
由射影定理得：CM²=AM•BM，
∴CM=

12

5

；而DE是AB的中垂线，
∴AD=

1

2

AB=

5

2

，DF=

5

2

-

15

7

=

5

14

；
∵CM⊥AB，DE⊥AB，
∴△CMF∽△EDF，
∴

CM

DE

=

MF

DF

，而CM=

12

5

，MF=

12

35

，DF=

5

14

，
解得：DE=

5

2

．
（2）如图，由勾股定理得：AE²=AD²+DE²，
解得：AE=

5 2

2

．
（3）如图，由勾股定理得：
CF²=CM²+MF²，解得：CF=

12 2

7

．

点评：该题主要考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定、勾股定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．