Question

已知一抛物线的顶点A的坐标是（2，9），并且抛物线与x轴两交点间的距离为6．
（1）试求该抛物线的关系式；
（2）若点B（n，5）在此抛物线上，且点B在第一象限，求以点A、B和坐标原点O为顶点的△OAB面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）已知了抛物线的对称轴方程和抛物线与x轴两交点间的距离，可求出抛物线与x轴两交点的坐标；然后用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的抛物线解析式得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式来求△OAB面积．

解答： 解：（1）∵二次函数的顶点坐标（2，9），并且图象与x轴两交点间距离为6，
∴二次函数图象与x轴两交点坐标为（-1，0）与（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
把（2，9）代入，得
9=a（2+1）（2-5），
解得 a=-1．
故抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-5）或y=-x²+4x+5．

（2）设直线x=2与直线OB交于点D．
由（1）知，抛物线的解析式为：y=-x²+4x+5．
把点B（n，5）代入，得
5=-n²+4n+5，即n（n-4）=0，
解得 n₁=0，n₂=4．
∵点B（n，5）在此抛物线上，且点B在第一象限，
∴B（4，5）．
易求直线OB的解析式为：y=

5

4

x．
把x=2代入得到：y=

5

2

，
∴AD=9-

5

2

=

13

2

．
∴S_△OAB=

1

2

AD•x_B=

1

2

×

13

2

×4=13，即△OAB面积是13．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数的解析式．求二次函数解析式时，也可以设顶点式方程来解答．