Question

2．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y=ax²+bx（a≠0）
（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a、b的值；
（2）当顶点坐标为（m，2m），m≠0时，求a与m之间的关系式；
（3）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=（k+1）x（k≠-1）上，请用含k的代数式表示b．

Answer 1

分析 （1）抛物线y=ax²+bx的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{-{b}^{2}}{4a}$），根据题意列出方程组求解可得；
（2）根据抛物线顶点式列出方程组，将方程组中b消去可得a、m间关系；
（3）将抛物线顶点（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{-{b}^{2}}{4a}$）代入直线解析式y=（k+1）x，整理可得．

解答 解：（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=1}\\{\frac{-{b}^{2}}{4a}=1}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2；

（2）当顶点坐标为（m，2m），m≠0时，
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=m}\\{\frac{-{b}^{2}}{4a}=2m}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{2}{m}$；

（3）过原点的抛物线y=ax²+bx的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{-{b}^{2}}{4a}$），
∵抛物线顶点在直线y=（k+1）x（k≠-1）上，
∴-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=-$\frac{b}{2a}$（k+1），
整理得：b=2k+2．

点评 本题考查了二次函数性质及解方程组的能力，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．