Question

6．如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A重合，并将三角板绕A点旋转，如图1，使它的斜边与BD交于点H，一条直角边与CD交于点G．
（1）请适当添加辅助线，通过三角形相似，求出$\frac{AH}{AG}$的值；
（2）连接GH，判断GH与AF的位置关系，并证明；
（3）如图2，将三角板旋转至点F恰好在DC的延长线上时，若AD=3$\sqrt{2}$，AF=5$\sqrt{2}$．求DG的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据正方形的性质的∠BAC=∠ABP=∠ABP=45°，cos∠BAC=cos45°=$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据等腰直角三角形的性质得到∠EAF=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到$\frac{AH}{AG}$=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据三角函数的定义得到AG=$\sqrt{2}$GH，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{GF}$=$\frac{DG}{GE}$=$\frac{AD}{EF}$，设GH为3x，则GF=5x，根据勾股定理得到FH=$\sqrt{G{F}^{2}-G{H}^{2}}$=4x，得到AG=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$×3×$\frac{5}{7}$$\sqrt{2}$=$\frac{30}{7}$，于是得到结论．

解答 解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ABD=∠ACD=45°，cos∠BAC=cos45°=$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∴∠BAH+∠FAC=∠FAC+∠EAC=45°，
∴∠BAH=∠EAC，
∴△BAH∽△ACG，
∴$\frac{AH}{AG}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）GH⊥AF，理由如下：
∵在Rt△AEF中，cos∠EAF=cos45°=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AH}{AG}$=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵∠HAG=∠EAF
∴△HAG∽△EAF，
∴∠AHG=∠E=90°，
∴GH⊥AF；

（3）∵在Rt△AGH中，sin∠GAH=sin45°=$\frac{GH}{AG}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AG=$\sqrt{2}$GH，
又∵∠ADG=∠E=90°，∠AGD=∠FGE，
∴△AGD∽△FGE，
∴$\frac{AG}{GF}$=$\frac{DG}{GE}$=$\frac{AD}{EF}$，
又∵在Rt△AEF中，AF=5$\sqrt{2}$，
∴EF=5，
∴$\frac{AG}{GF}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{2}HG}{GF}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴$\frac{GH}{GF}$=$\frac{3}{5}$，
∴可设GH为3x，则GF=5x，FH=$\sqrt{G{F}^{2}-G{H}^{2}}$=4x，
∴AF=AH+FH=3x+4x=5$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{5\sqrt{2}}{7}$，
∴AG=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$×3×$\frac{5}{7}$$\sqrt{2}$=$\frac{30}{7}$，
∴GE=AE-AG=5-$\frac{30}{7}$=$\frac{5}{7}$，
又∵$\frac{DG}{GE}$=$\frac{AD}{EF}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴$\frac{DG}{\frac{5}{7}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴DG=$\frac{3}{7}\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．