Question

11．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，-1），B（3，-1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．过P作PQ⊥OA于Q．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示P、Q两点的坐标；
（3）将△OPQ绕P点逆时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与t的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），则设交点式y=ax（x-4），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式，再利用配方法得到顶点M的坐标；
（2）作QN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图1，先判定△AOH和△ONQ为等腰直角三角形得到QN=ON=NP=$\frac{1}{2}$OP=t，然后用t表示出P点和Q点坐标；
（3）△OPQ绕P点逆时针旋转90°得到△O′PQ′，如图2，作Q′K⊥x轴于K，利用旋转的性质得∠QPQ′=90°，PO′⊥x轴，PO′=PO=2t，PQ′=PQ=$\sqrt{2}$t，再确定O′（2t，-2t），Q′（3t，-t），然后分别把O′（2t，-2t）或Q′（3t，-t）代入抛物线解析式可求出对应的t的值；
（4）根据△OPQ与四边形OABC重叠部分的图形不同分类讨论：当0＜t≤1时，重叠部分为三角形，如图1，利用三角形面积公式表示出S；当1＜t≤$\frac{3}{2}$时，如图3，PQ交AB于E点，重叠部分为梯形，利用三角形面积的差表示S；当$\frac{3}{2}$＜t≤2，如图4，PQ交AB于E点，交BC于F点，重叠部分为梯形OABC减去△BEF，则利用梯形的面积减去三角形面积可表示出S．

解答 解：（1）∵抛物线过点A（1，-1），B（3，-1），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线的解析式为y=ax（x-4），
把A（1，-1）代入得a•1•（-3）=-1，解得a=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x（x-4），即y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x；
∵y=$\frac{1}{3}$（x-2）²-$\frac{4}{3}$，
∴顶点M的坐标为（2，-$\frac{4}{3}$）；

（2）作QN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图1，
∵A（-1，1），
∴OH=AH=1，
∴△AOH为等腰直角三角形，
∴△ONQ为等腰直角三角形，
∴QN=ON=NP=$\frac{1}{2}$OP=t，
∴P（2t，0），Q（t，-t）；

（3）存在．
△OPQ绕P点逆时针旋转90°得到△O′PQ′，如图2，作Q′K⊥x轴于K，
∠QPQ′=90°，PO′⊥x轴，PO′=PO=2t，PQ′=PQ=$\sqrt{2}$t，则O′（2t，-2t）；
∵∠KPQ′=90°-∠OPQ=45°，
∵△PQ′K为等腰三角形，
∴PK=Q′k=t，
∴Q′（3t，-t），
当O′（2t，-2t）落在抛物线上时，-2t=$\frac{1}{3}$•4t²-$\frac{4}{3}$•2t，解得t₁=0，t₂=$\frac{1}{2}$；
当Q′（3t，-t）落在抛物线上时，-t=$\frac{1}{3}$•9t²-$\frac{4}{3}$•3t，解得t₁=0，t₂=1；
综上所述，当t为$\frac{1}{2}$或1时，使得△OPQ的顶点O或Q落在抛物线上；

（4）当0＜t≤1时，如图1，S=$\frac{1}{2}$•t•2t=t；
当1＜t≤$\frac{3}{2}$时，如图3，PQ交AB于E点，S=S_△POQ-S_△AEQ=$\frac{1}{2}$•t•2t-$\frac{1}{2}$•（t-1）•2（t-1）=2t-1；
当$\frac{3}{2}$＜t≤2，如图4，PQ交AB于E点，交BC于F点，
∵△POQ为等腰直角三角形，
∴∠CPF=45°，
∴△PCF为等腰直角三角形，
∴PC=CF=2t-3，
∴BF=1-（2t-3）=4-2t，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$（4-2t）²=2t²-8t+8，
∴S=S_梯形OABC-S_△BEF=$\frac{1}{2}$•（2+3）•1-（2t²-8t+8）=-2t²+8t-$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的判定与性质；会利用待定系数法法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质．