Question

14．阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：

（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形C．
A．平行四边形    B．矩形     C．菱形     D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是假 命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请求出∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）由和谐四边形的定义，即可得到菱形是和谐四边形；
（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，举出反例即可；
（3）首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质，即可求出∠ABC的度数．

解答 解：（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是和谐四边形；
故选C；

（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，如图所示：

∠C=45°，直角梯形ABCD是和谐四边形，但不是轴对称图形，
故答案为：假；

（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵在等腰Rt△ABD中，AB=AD，
∴AB=AD=BC，
①如图1，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°；
②如图2，当DA=DC时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°； 
③如图3，当CA=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=ED，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BCF=15°，
∴∠ABC=150°．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及菱形的性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．